拓扑排序

拓扑排序

2023 年 03 月 19 日

224 次浏览

246字数

## 拓扑排序的定义

对一个有向无环图G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点`u`和`v`，若边`(u,v)∈E(G)`，则`u`在线性序列中出现在`v`之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

## 拓扑排序的应用

参考一道ACM题目确定比赛名次
问题描述：

有N个比赛队（1<=N<=500），编号依次为1，2，3，。。。。，N进行比赛，比赛结束后，裁判委员会要将所有参赛队伍从前往后依次排名，但现在裁判委员会不能直接获得每个队的比赛成绩，只知道每场比赛的结果，即P1赢P2，用P1，P2表示，排名时P1在P2之前。现在请你编程序确定排名。

现已知有4个队伍参加比赛，而每两队的比赛成绩如下:
1 2
2 3
4 3

1，2表示即P1队赢了P2队。先让你排序出整个比赛的排名
该问题的求解过程如下：
完全可将P1～P4的比赛排名按题目要求构建出一个有向图：

P1 —> P2 —> P3 <— P4

由图自然非常清楚的看出排名为P1，P2，P4，P3或P1，P4，P2，P3

如果我们考虑图的相关性质在里面，会发现：
入度为 0 的顶点 P1 是排序中的第一名(因为没有任何人战胜它)，而确定好第一名之后，将第一名从排序中踢出，剩下的图： P2–> P3 <– P4 中，依然存在入度为0的节点，依次类推，便得到了一个求拓扑排序的算法。

## 拓扑排序存在的条件

并不是所有图都存在拓扑排序，拓扑排序在图中也不是唯一的(例如上例中将存在两个拓扑排序)。

不含环路的有向图必包含入度为零的顶点—因此一定存在拓扑排序

## 实现代码

```cpp
int d[N];
vector<int> res;
bool topsort()
{
    // d[i] 存储点i的入度
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        if (!d[i]) q.push(i);

while (q.size()) {
        auto t = q.front();
        res.push_back(t); //存储拓扑序
        q.pop();
        for (auto x : a[t]) {
            if (--d[x] == 0) {//如果一个点的入度为0，将不会有点再遍历它，所以可以往下搜索它了
                q.push(x);
            }
        }
    }
    // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
    return res.size() == n;
}
```

最后修改：2023 年 03 月 19 日