拓扑排序的定义
对一个有向无环图G进行拓扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任意一对顶点u
和v
,若边(u,v)∈E(G)
,则u
在线性序列中出现在v
之前。通常,这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列,简称拓扑序列。简单的说,由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序,这个操作称之为拓扑排序。
拓扑排序的应用
参考一道ACM题目确定比赛名次
问题描述:
有N个比赛队(1<=N<=500),编号依次为1,2,3,。。。。,N进行比赛,比赛结束后,裁判委员会要将所有参赛队伍从前往后依次排名,但现在裁判委员会不能直接获得每个队的比赛成绩,只知道每场比赛的结果,即P1赢P2,用P1,P2表示,排名时P1在P2之前。现在请你编程序确定排名。
现已知有4个队伍参加比赛,而每两队的比赛成绩如下:
1 2
2 3
4 3
1,2表示即P1队赢了P2队。先让你排序出整个比赛的排名
该问题的求解过程如下:
完全可将P1~P4的比赛排名按题目要求构建出一个有向图:
P1 —> P2 —> P3 <— P4
由图自然非常清楚的看出排名为P1,P2,P4,P3或P1,P4,P2,P3
如果我们考虑图的相关性质在里面,会发现:
入度为 0 的顶点 P1 是排序中的第一名(因为没有任何人战胜它),而确定好第一名之后,将第一名从排序中踢出,剩下的图: P2–> P3 <– P4 中,依然存在入度为0的节点,依次类推,便得到了一个求拓扑排序的算法。
拓扑排序存在的条件
并不是所有图都存在拓扑排序,拓扑排序在图中也不是唯一的(例如上例中将存在两个拓扑排序)。
不含环路的有向图必包含入度为零的顶点—因此一定存在拓扑排序
实现代码
int d[N];
vector<int> res;
bool topsort()
{
// d[i] 存储点i的入度
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!d[i]) q.push(i);
while (q.size()) {
auto t = q.front();
res.push_back(t); //存储拓扑序
q.pop();
for (auto x : a[t]) {
if (--d[x] == 0) {//如果一个点的入度为0,将不会有点再遍历它,所以可以往下搜索它了
q.push(x);
}
}
}
// 如果所有点都入队了,说明存在拓扑序列;否则不存在拓扑序列。
return res.size() == n;
}