常用公式

博主： Solost
发布时间：2024 年 08 月 02 日
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分类：考研笔记

# 常用公式

### 基本求导公式

${\left( {x}^{\alpha }\right) }^{\prime } = \alpha {x}^{\alpha  - 1}\left( {\alpha \text{ 为常数 }}\right)$

${\left( {a}^{x}\right) }^{\prime } = {a}^{x}\ln a\left( {a > 0,a \neq  1}\right)$

${\left( {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{\prime } = {\mathrm{e}}^{x}$

${\left( {\log }_{a}x\right) }^{\prime } = \frac{1}{x\ln a}\left( {a > 0,a \neq  1}\right)$

${\left( \ln \left| x\right| \right) }^{\prime } = \frac{1}{x}$

${\left( \sin x\right) }^{\prime } = \cos x$

${\left( \cos x\right) }^{\prime } =  - \sin x$

${\left( \arcsin x\right) }^{\prime } = \frac{1}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}$

${\left( \arccos x\right) }^{\prime } =  - \frac{1}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}$

${\left( \tan x\right) }^{\prime } = {\sec }^{2}x$

${\left( \cot x\right) }^{\prime } =  - {\csc }^{2}x$

${\left( \arctan x\right) }^{\prime } = \frac{1}{1 + {x}^{2}}$

${\left( \operatorname{arccot}x\right) }^{\prime } =  - \frac{1}{1 + {x}^{2}}$

${\left( \sec x\right) }^{\prime } = \sec x\tan x$

${\left( \csc x\right) }^{\prime } =  - \csc x\cot x$

${\left\lbrack  \ln \left( x + \sqrt{{x}^{2} + 1}\right) \right\rbrack  }^{\prime } = \frac{1}{\sqrt{{x}^{2} + 1}}$

${\left\lbrack  \ln \left( x + \sqrt{{x}^{2} - 1}\right) \right\rbrack  }^{\prime } = \frac{1}{\sqrt{{x}^{2} - 1}}.$

### 基本积分公式

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### 泰勒公式求极限

> 注意：
>
> 相减展开过程中，要展到相同次数，不能一个展开到 2 次，另一个 3 次
>
> 相乘过程与相减类似
>
> 相除过程中，可以简单判断分子或者分母展开的阶数，然后分子或者分母相应展到相同阶数，如果有部分与分母阶数不同，根据抓大头原则即可，趋向于 0 比分母次数更高的可以直接舍去，趋向于正无穷，比分母阶数低的可以舍去

### 二重积分求极值

![image-20240626094950200](assets/image-20240626094950200-20240728154550-3rz5rar.png)

#### 无条件的二重积分求极值

> 1.先求函数的偏导数
>
> 2.找到令偏导数不存在或者为 0 的点，偏导数相互带入，求出可疑点
>
> 3.求二阶偏导数
>
> 4.把可疑点带入，判断 Δ，然后根据条件带入原方程即可求出极大或者极小值

#### 条件最值与拉格朗日数乘法

> 首先，如果能将条件转化为变量带入首先转化，就可以转成无条件的求法
>
> 1.构造辅助函数
>
> 2.求各个变量的偏导，令其为 0
>
> 3.解方程
>
> 4.比较方程得出的各点大小，找出最大最小值

### 多元函数求极值

> 注意：
>
> 极值可能存在的地方
>
> 1.函数定义域内部
>
> 2.定义域边界

例如：${(x,y)|x+2*y<=1,x>=0,y>=0}$

1. $x=0$ 时候，可以求出内部的驻点(偏导数为 0)，还有边界点 $(0,0),(0,1/2)$
2. $y=0$ 时候，可以求出内部的驻点(偏导数为 0)，还有边界点 $(1,0)$
3. $x+2*y=1$ 时候，把方程的 x 或者 y 换掉，又会有一个新的方程，再求新方程的极值

例题见 1000 题 A 组 13 章 18 题

### 极坐标二重积分计算

> 如果遇到被积函数是椭圆的情况 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$$=$$r^{2}$
>
> 令 $x=arcost$, $y=brsint$
>
> 根据题目给出的条件，计算出 t 的范围和 r 的范围
>
> 然后 **$dxdy=abrdr$** 写方程过程一定记得换了，不是 $rdr$

### 求渐近线

> 求渐近线过程
>
> 1.垂直渐近线（$x\to x_0$）
>
> 2.水平渐近线（$x\to \infty$）
>
> 3.求斜渐近线时，先求出$\frac{f(x)}{x},$也就是斜率，判断$x\to +\infty和x \to -\infty$的极限值是否相同，如果存在且极限值不同，则斜渐近线条数取决于不同极限值个数
>
> 注意：如果遇到趋向于负无穷，稳妥起见用-t 换元 x，t 趋向于正无穷,趋向于负无穷时从绝对值提出 $x^2$ 时候要加负号

### 遇到以下情况可以用导数定义来求导数

1. 被求导的函数过于复杂
2. 被求导的函数中含有抽象函数
3. 被求导的函数不符合求导法则
4. 分段函数分段点求导用定义
5. 让函数值为 0 的点（如果出现表达式一部分趋于 $x_0$ 时 $f(x)$ 为 0，可以拆成 $(x-x0)*g(x)$ 使用极限运算法则拆开算）

### 连续相关注意点

- 问 $f'(x)$ 是否连续？

分段函数分段点处，求非分段点趋向于分段点的极限值是否与分段点处函数值相等，相等即连续（部分情况需要左导数右导数和函数值都进行判断）

> 一般情况先求 $f(x)$ 在分段点和不在分段点的导数的表达式
  >
  > 在让非分段点的导数趋于分段点，比较分段点和非分段点的函数值是否相等
  >
- 求分段函数的导数

- 不在分段点：使用导数求导法则直接求
  - 在分段点：使用导数的定义进行求解

### 函数有界性判断问题

1. 连续函数有界问题

- 闭区间函数 $f(x)$ 连续，则 $f(x)$ 有界
   - 开区间函数连续，且在端点处极限存在，函数有界
   - **导函数** 在有限区间有界，则 $f(x)$ 有界
2. 一般情况下， 函数的单调没办法直接推出 $f’(x)>0$ 的

例如，函数在某邻域单调增，只能推出导函数 >=0，不能推出 >0，比如 $x^{3}$

衍生：$f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数，只能推出 $f''(x)>=0$,例如 $x^{4}$ 不能推出 $f''(x)>0$

导函数在某点大于 $0$，不能推出函数在邻域内单调增

在二阶可导的情况下，$f’(x_0)>0$，可以推出在 $x_0$ 的邻域内函数单增(二阶导数存在，一阶导函数连续)，二阶导数存在，一阶导数连续（连续就是不会导数突变方向），就可以推出一点导数值大于 0，一定是邻域内其他点导数值也是大于 0 的

### 极限值和函数值无关

1. 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且 0 点的极限值等于 0

$(A) 当  \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  0}}\frac{f\left( x\right) }{\sqrt{\left| x\right| }} = 0,f\left( x\right)   在  x = 0  处可导;$

$(B) 当  \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  0}}\frac{f\left( x\right) }{{x}^{2}} = 0,f\left( x\right)   在  x = 0  处可导;$

A,B 选项中，可以得出，函数在 0 点的极限值等于 0，但是导数的定义式是，$lim_{x->0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$，需要知道的是 0 点的函数值，但是选项中只能得出极限值，由于极限值和函数值无关，所以选项全错

- 无穷小与有界量的乘积是仍然是无穷小，例如 $xsin(\frac{1}{x})$
- 例如 $xe^{\frac{1}{x}}$，当 x 趋向于 0 时，极限值不存在，因为是无穷小乘无界量
- 极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
- 函数导数的充要条件是左右导数存在且相等
- 导数存在的必要条件是函数连续

### 函数的性态

#### 函数单调性

$f'(x)>0 => f(x)单调增$

$f'(x)>=0 <=> f(x)单调不减$

$f(x)单调增加 => f'(x)>=0$

极限值大于 0 可以推出函数值大于 0

极限值 >=0，不能推出函数值大于等于 0($x^3$)

函数值 >=0 或者 >0，可以推出极限值大于 0

### 数列收敛问题

证明数列收敛有两种方法

1. 单调有界性准则

证明数列单调增有上界，或者单调减有下界，单调性证明用做差或者做比
2. 夹逼定理

通过放缩来计算左右边界的极限趋于同一个值

### $1^{∞}$

当使用 $1^{∞}$ 时候，注意 $limu^v$ 使用过程中需要保证求出的结果不是无穷，一般不要用在分母单独使用

### 数列极限

- 数列求极限过程中要把 $n->x$，把数列极限改写成函数极限，才能用洛必达
- 不要随便在 $e$ 上做等价代换，因为在分式中，分子和分母都有 $e$，如果不统一的话，直接换分子的 $e$ 的指数，就相当于等价后更换 $e$ 指数中加减进行直接等价代换了
- 只有在极限的非零因子(与整个世子是相乘的)的极限可以先求出来

1. 判断求数列和的极限用夹逼准则还是定积分定义

分母的变化部分和主体部分作比，如果趋向于 0 是次量级那就使用夹逼定理，如果趋向于 1 那就是同量级使用定积分的定义

次量级和主体部分相比，可以忽略，不影响极限值，但是如果是同量级，就会影响极限值，夹逼准则无法精准求出
2. $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\sqrt[n]{{a}_{1}^{n} + {a}_{2}^{n} + \cdots  + {a}_{m}^{n}} = \mathop{\max }\limits_{{1 \leq  i \leq  m}}{a}_{i}$

$\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\sqrt[n]{1 + {x}^{n} + {\left( \frac{{x}^{2}}{2}\right) }^{n}},\left( {x \geq  0}\right)$ 中，把 1 可以换成 $1,2,3.....,10000$ 就等价于 $1^n+1^n+....1^n$ 结果还是等价于在 $1,x,\frac{x^2}{2}$ 在不同区域的大小

#### 数列极限证明方法总结

##### 数列极限证明常用

1. 不定式

对数列求极限过程和函数不定式极限相同，但一定 **要把数列极限转换为函数极限（归结原理）** ，否则不能直接用洛必达
2. n 项和的数列极限

1. 夹逼原理
   2. 定积分定义
3. n 项连乘的数列极限

1. 夹逼原理
   2. 取对数化为 n 项和
4. 递推关系定义的数列

1. 先证数列收敛，在求极限
   2. 先求极限，再证极限为所求极限（一般使用压缩映射原理）

使用压缩映射原理时，若求出的极限值比较复杂，则不把极限带入，而是使用 a 带入

##### 单调性判定常用方法

单调性判定常用有三种方法:

(1) 若 ${x}_{n + 1} - {x}_{n} \geq  0\left( { \leq  0}\right)$ ,则 $\left\{  {x}_{n}\right\}$ 单调增 (单调减);

(2) 设 $\left\{  {x}_{n}\right\}$ 不变号,

若 ${x}_{n} > 0$ ,则当 $\frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} \geq  1\left( { \leq  1}\right)$ 时, $\left\{  {x}_{n}\right\}$ 单调增 (单调减);

若 ${x}_{n} < 0$ ,则当 $\frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} \geq  1\left( { \leq  1}\right)$ 时, $\left\{  {x}_{n}\right\}$ 单调减 (单调增);

(3) 设数列 $\left\{  {x}_{n}\right\}$ 由 ${x}_{1} = a,{x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,{x}_{n} \in  I$ 所确定,

若 $f\left( x\right)$ 在 $I$ 上单调增,则

当 ${x}_{1} \leq  {x}_{2}$ 时, $\left\{  {x}_{n}\right\}$ 单调增; 当 ${x}_{1} \geq  {x}_{2}$ 时, $\left\{  {x}_{n}\right\}$ 单调减;

若 $f\left( x\right)$ 在 $I$ 上单调减,则 $\left\{  {x}_{n}\right\}$ 不单调.

### 无穷小阶的比较

1. 定义法直接比较（函数两两进行比阶）
2. 等价无穷小替换后进行简单比阶
3. 洛必达
4. 泰勒展开
5. 利用定义求出函数的阶数(用 $x^k$ 相比为 1，那么原函数为 k 阶数)
6. 求导定阶数（每个都进行求导，相当于降了一阶，再用等价无穷小替换）
7. 利用若 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  0}}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = 1  ,则  {\int }_{0}^{\varphi \left( x\right) }f\left( t\right) \mathrm{d}t \sim  {\int }_{0}^{\varphi \left( x\right) }g\left( t\right) \mathrm{d}t  ,其中  \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  0}}\varphi \left( x\right)  = 0$(不定积分换被积函数)
8. 结论: 若 $f\left( x\right)$ 在 x=0 的某邻域内连续,且当 $x \rightarrow  0$ 时 $f\left( x\right)$ 是 $x$ 的 $m$ 阶无穷小,$\varphi \left( x\right)$ 是 $x$ 的 $n$ 阶无穷小,则当 $x\rightarrow0$ 时 $F\left( x\right)={\int }_{0}^{\varphi \left( x\right) }f\left( t\right) \mathrm{d}t$ 是 $x$ 的 $n\left( {m + 1}\right)$ 阶无穷小) **也就是上限函数阶数*（被积函数阶数 +1）**

### 间断点的类型判断

- 当 f(x)没有显性给出时候，要注意先求出表达式，在求表达式的过程中可能会先遇到不满足定义域的情况，也就是有些情况下表达式不存在，要在表达式存在的条件下进行讨论，先求出表达式
- 表达式在变型过程中，可能给一个分母乘了一个式子让分式消去，注意这个过程定义域的变化，可能导致有间断点的函数被化简为没有间断点或者间断点减少

### 介值定理、最值定理及零点定理的证明

如果遇到函数值$f(x_0)$和极限值$lim_{x->x_0}f(x)$，要能想到极限的保号性或者中值定理

证明函数值等于 0 要能想到零点定理

若给定值，要能想到最值定理

### 复合函数求导

复合函数求导法则：

1. 读者不难验证：若 $ $y = g(f(x))$ $ ，则 $ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \Bigg|_{x=0}$ $ 不存在。
2. 设$y = f(u), u = g(x), u_0 = g(x_0)$，如果 $g'(x_0)$和$f'(u_0)$都存在，则$y = f(g(x))$在 $$x_0$ $ 处可导，且$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \Bigg|_{x=x_0} = f'(u_0) \cdot g'(x_0)$ ，如果$g'(x_0)$和$f'(u_0)$至少有一个不存在，则$y=f(g(x))$在$x_0$处并非一定不可导，此时，先求出复合函数$y = f(g(x))$的表达式，然后再进一步考查$y = f(g(x))$在$x_0$处的可导性。

### [25武忠祥《高数辅导讲义》.pdf - p72 - 隐函数求导法](assets/25武忠祥《高数辅导讲义》-20240731091616-x19jvdx.pdf#page=72)

一阶导数代公式 ，二 阶导数利用$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big(\frac{y^{'}(t)}{x^{'}(t)}\Big)\frac{1}{x^{'}(t)}$，注意，二阶导是对x求导，但是上面是关于t的导数，对x不能直接求，所以要先对t求导，然后再$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}$

### [25武忠祥《高数辅导讲义》.pdf - p73 - 参数方程求导法](assets/25武忠祥《高数辅导讲义》-20240731091616-x19jvdx.pdf#page=73)

在参数方程涉及到求斜率的方程中，因为斜率是$\frac{dy}{dx}$,参数方程是关于t的方程，所以要注意将 **对t的导数换成对x的** ，注意，二阶导中，$\frac{dy}{dx}$也就是$\frac{y'(t)}{x'(t)}$,$\frac{d{\frac{y(t)}{x(t)}}}{dx^2}$就是$\frac{y'(t)}{x'(t)}$再次对x求导，然后再$\frac{dt}{dx}$也就是$\frac{1}{\frac{dt}{dx}}$，总的来说，公式整理后就是$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{y^{\prime\prime}(t)x^{\prime}(t)-x^{\prime\prime}(t)y^{\prime}(t)}{x^{\prime3}(t)}$

### 反函数的导数

* 反函数的导数，因为$\varphi^{'}(y)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=\frac{1}{f^{'}(x)}$,$\varphi''(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\biggl[\frac{1}{f'(x)}\biggr]\bullet\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=-\frac{f''(x)}{\bigl[f'(x)\bigr]^2}\bullet\frac{1}{f'(x)}$

注意：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}},但\frac{d^{2}x}{dy^{2}}\neq\frac{1}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$

### 常用的高阶导数

1. $(e^{ax+b})^{(n)}=a^ne^{ax+b}$
2. $\sin(ax+b)^{(n)}=a^{n}\sin(ax+b+\frac{n\pi}2)$
3. $\cos(ax+b)^{(n)}=a^{n}\cos(ax+b+\frac{n\pi}2)$
4. $\ln(ax+b)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{a^n}{(ax+b)^n}$
5. $(\frac1{ax+b})^{(n)}=(-1)^nn!\frac{a^n}{(ax+b)^{n+1}}$
6. $(\frac{c}{ax+b})^{(n)}=(-1)^{n}cn!\frac{a^{n}}{(ax+b)^{n+1}}$

### 常见的转换：正弦函数和余弦函数三角恒等式转换

1. **和角公式**:
   $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$
   $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
2. **差角公式**:
   $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$
   $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
3. **倍角公式**:
   $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
   $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x$
4. **半角公式**:
   $\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}$
   $\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$
5. **余弦到正弦的转换**:
   $\sin x = \cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right)$
6. **正弦到余弦的转换**:
   $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x \right)$
7. **正弦和余弦的周期性**:
   $\sin(x + 2\pi k) = \sin x$
   $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$
   其中 $ k $ 是任意整数。
8. **正弦和余弦的奇偶性**:
   $\sin(-x) = -\sin x$（奇函数）
   $\cos(-x) = \cos x$（偶函数）

### 高阶导数

前两种主要用来求n阶导函数，泰勒公式用来求某点的导数

1. 公式法
2. 归纳法
3. 泰勒公式

‍

最后修改：2025 年 02 月 09 日

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